Observatoire de Paris,
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Black holes are objects so compact and so dense that in their vicinity, the escape velocity exceeds the speed of light: their gravitational attraction traps even the light which ventures too close and is then lost. However, S. Hawking showed in the '70s that the black holes are not so black. They have an entropy, which can only increase, and thus a temperature: the black holes emit particles and thermal " radiation ", with a temperature which depends only on their mass: the black hole is the more " hot " that it is not very massive. These particles are emitted in a zone right outside the horizon of the black hole (limit inside which nothing can escape). It is a quantum effect, based on the spontaneous creation of pairs of particle-antiparticles in the energy fluctuations of the vacuum.

Black holes of a few solar masses, residues of massive stars after their death, have a temperature quite lower than the cosmic background radiation and do not evaporate. On the other hand, the microscopic black holes formed very early in the Universe already evaporated if their mass is lower than the billion tons. In the intermediate mass range, it could exist very hot black holes, still evaporating today. At the time of the final phases of evaporation, the mass of the black hole becomes infinitely small, and thus its temperature tends towards infinity. The black hole disappears in a fantastic explosion. The last phases of the evaporation of the black hole remained to be elucidated.

The microscopic black holes involving at the same time very strong gravity and quantum mechanics, should be explained within the framework of a quantum theory of gravity, which today is not fully established. String theory is among the best candidates for that theory, which should also unify all the interactions. This theory generalizes the individual elementary particles (with zero dimension to some extent) by objects with one dimension, the strings, with very high energy. One string corresponds to an infinite (or very high ) number of particle states.The various modes of vibration of the strings correspond to the various particle states of different masses and spin.

Norma Sanchez, from Paris Observatory, and her collaborators endeavoured these last years to incorporate black holes and primordial cosmology in the context of string theory, and then to develop the emission mechanisms of black holes within the framework of the string theory. The black hole emits particles, and in the limit of high energies, it emits a whole spectrum of strings. A relation between the Hawking temperature and the string temperature appears. The temperature of the strings is proportional to their mass. The temperature of the black hole cannot exceed that of the strings. When the temperature of the black hole is low, the individual particle emission is found, that is the usual thermal Hawking emission is found for low temperatures. When the temperature of the black hole is high, and comparable with that of the strings, its emission is dominated by that of very massive strings, and one cannot distinguish the black hole any more from these strings: there is a phase transition of the emitted strings which are transformed into a condensate stringy state or stringy black hole. That is, towards the end of its evaporation, the black hole is transformed into a string. Then after, it will decay in particles of all kinds by the usual particle decay processes in string theory. Thus, black hole evaporation does not reveal any more infinities (infinite temperature, infinite curvature) as it was the case within the theory of the point particles (without strings).
Such a phase transition can, only occurs in the framework of string theory: in the context of the Hawking radiation without strings, such a phase transition can not occurs and infinities appear.

This work is detailed in an article recently published in Physical Review D: Marina Ramon Medrano and Norma Sanchez, Phys Rev D 61, 084030 (2000), (hep-th/9906009).


In the context of classical physics, black holes absorb waves but they can not emit them. However, if a quantum description of fields around is taken, then black holes can also emit particles; this is the result by Hawking in 1975 (S. Hawking, Comm Math Phys 43, 199 (1975)) . The quantum emission rate and the classical wave absorption cross section are related by a thermal (black body) spectrum .

In spite of the extensive litterature discussing about the interaction of waves with black holes, the absorption spectrum (and other scattering parameters), as well as their theoretical foundations remained for longtime unsolved. In fact, the complexity of the solutions of the wave propagation equations around black holes made this problem very difficult.

Accurate and powerful computational methods developed by this author in 1977-78 for the wave scattering by black holes allowed to obtain the highly non trivial total absorption spectrum of the Black Hole and discover its unexpected propierties. (N. Sanchez, Phys Rev D16, 937 (1977), & Phys Rev D8, 1030 (1978). These methods allowed to obtain too the exact partial wave phase shifts and cross sections (elastic and inelastic), and the angular distribution of absorbed and scattered waves. (N Sanchez, Phys Rev D 18, 1798 (1978)).

The exact total absorption spectrum of waves by the Black Hole shows as a function of frequency a remarkable surprising oscillatory behaviour characteristic of a diffraction pattern. (It oscillates around a constant value (which is the geometrical size limit) with decreasing amplitude and almost constant period). Such oscillatory absorption pattern is an unique distinctive feature of the black hole absorption, and is due to its r = 0 singularity. Ordinary absorptive bodies do not present these features.

The emission by a black hole as a function of the frequency follows a thermal spectrum as shows in Figure 1. The absorption by the black hole follows an oscillatory spectrum as shows in Figure 2. (we have also computed the formula describing it). The emission does not show any of the oscillations shown in the absorption since the contribution of low frequencies dominate the Hawking radiation. The thermal factor suppresses the contribution of higher frquencies and therefore, all other oscillations are erased.

It is interesting to compare the absorption by a black hole with that of other physical systems. Fig 3 shows the total absorbtion cross section for an ordinary material sphere of radius R with a complex refraction index: It is a monotonically increasing function of the frequency, it attains its geometrical size limit (p R2) without any oscillation.

Usually, in particle and wave processes, absorption processes are related to the presence of a refraction index, but this is not the case for the black hole: for material bodies the absorption takes place in the whole volume without any oscillation while for the black hole it occurs only at the center (r=o).
All these results allow to understand and reproduce the Black Hole absorption spectrum in terms of the optical (Fresnel-Kirchoff) diffraction theory: the oscillatory behaviour is explained by the interference of the absorbed rays arriving at the origin of the black hole through different optical paths.

These fundamental features of the Black Hole Absorption spectrum will be present for generic higher dimensional Black Hole backgrounds, (that is with space dimensions larger than three) and including charge and angular momentum for the black holes. They will be also present for black hole backgrounds as solutions of low energy effective field theories, whatever the low energy equations be inspired from (string theory or branes)

The absorption cross section of the black hole is a classical (non quantum) physical concept. It is exactly known and understood in terms of classical physics (propagation of fields around black holes). (Although, of course, is possible to rederive and compute magnitudes from different ways and techniques)

Recently, an increasing amount of papers has been devoted to compute absorption cross sections (also called " grey body " factors) of black holes. In most of such recent litterature, whatever be for ordinary black holes , stringy black holes, or D-braned black holes, the fundamental remarkable features of the Black Hole Absorption spectrum are overlooked. This is so, because most of the litterature deals with approximative (non exact)cross sections (that is with approximations valid only for low frequencies and/or for the high frequencies), which are are not enough to find the oscillations. In order to compute the total spectrum, a whole large range of frequencies is needed, by superposing all the contributions one finds the total spectrum and the oscillations.

See for example:

N. Sanchez, "Absorption and Emission Spectra for a Schwarzschild Black Hole", Phys. Rev. D18, 1030, (1978).

N. Sanchez, "Elastic Scattering of Waves by a Black Hole"
Phys. Rev. D18, 1798, (1978).

N. Sanchez, " Sur la Physique des Champs et la Géométrie de l'Espace- Temps ", Thèse d' Etat, Univ de Paris VII, Paris, 1979

N. Sanchez, "The Black Hole: Scatterer, Absorber and Emitter of Particles " and refs therein " String Theory in curved spacetimes: A Research Network Report", World Sc. Pub. (1998)


String theory is at present the best candidate for a theory of the quantum unification of all interactions including gravity.

Macroscopic black holes arise through the gravitational collapse of stellar bodies. Microscopic black holes could arise from high density concentrations (of the order of the Planck energy scale) in the early universe, as well as from the collisions of particles at such energy scales. Microscopic black holes are necessarily quantum and their properties governed by quantum or semiclassical gravity, evaporation through Hawking radiation is a typical effect of these black holes. Microscopic black holes share in some respects analogies with the elementary particles, and on the other hand, show many important differences. A theory of quantum gravity, or "theory of everything", such as string theory, should accounts for an unified and consistent description of both black holes and elementary particles, and the physics of the early universe as well.

Last recent years, black holes were abondantly discussed in the context of string theory, (see for example the xxx.hep-th preprint archive), but mainly to provide a derivation of the black hole entropy, and/or as solutions of the low energy limit of string theory, which is a point particle effective model. The essential issue of the last stages of black hole evaporation, and of the Hawking radiation in string theory remained open. The point particle (non string) treatment of Hawking radiation is only valid for the first stage of evaporation, its extrapolation to the last stages is physically and mathematically inconsistent. Recently, the work pioneered and developped by Norma Sanchez and collaborators at the Observatoire de Paris elucidated this problem.

A common feature between black holes and strings is that they possess intrinsic thermal features and temperatures. The Hawking temperature is a measure of the Compton length of the black hole, and thus of its semiclassical properties. The string (Hagedorn) temperature is proportional to the string mass and thus inversely proportionnal to the string size. Recently, Norma Sanchez and Marina Ramon Medrano, (in Phys Rev D 61, 084030 (2000), (hep-th/9906009)) computed for the first time the black hole emission spectrum in string theory, and given its mathematical formula, and demonstrated that the black hole has a maximal temperature given by the string temperature. From their emission formula, a clear and precise picture of black hole evaporation emerges: for low black hole temperatures (as compared with the string temperature), Hawking radiation is recovered. For high black hole temperatures (near the string temperature), highly massive string states dominate the emission, the black hole and its radiation can not be anymore separated, and undergo a typical string phase transition to a microscopic `minimal' black hole of minimal mass or minimal radius entirely expressed in terms of the string tension. This phase transition can only occurs in the context of string matter, and it is totally absent in the context of the Hawking point particle model.
Once the black hole ended in such a string state, it decays through the usual decay particle process in string theory, that is in particles of all kinds
Therefore, in string theory, black hole evaporation is a bounded, consistent and well defined process, no infinity temperature appears. All relevant magnitudes are expressed in terms of a single fundamental parameter: the string tension. The Hawking temperature which we know as the black hole temperature in the semiclassical regime becomes the string temperature in the final (truly quantum) string regime, that is the black hole becomes an string.The life time of the string `minimal' black hole is enterely expressed in terms of the string tension as well.

By using the same methods and developments, the de Sitter (inflationary) phase of the early universe can be described, (hep-th/9904015, Phys . Rev. D60, 125014, Dec 1999), and more consequences are under current investigation.


See for example:

" String Theory in curved spacetimes ": An European Research Network Report, N. Sanchez editor, World Scientific Publishing Co (1998) and references therein.

" String Gravity and Physics at the Planck Energy Scale ", N. Sanchez editor, NATO ASI Series C 476, Kluwer Publishers (1996).

M. Ramon Medrano and N. Sanchez, hep-th/9906009, Phys . Rev. D 61, 084030 (2000).

M. Ramon Medrano and N. Sanchez, hep-th/9904015, Phys Rev D60 , 125014, Dec 1999



Au CERN, en 1987, j'ai lancé un nouveau programme sur la théorie des cordes en gravitation et en cosmologie. Depuis lors, j'ai developpé à l'Observatoire de Paris une nouvelle approche à l'etude de la dynamique (classique et quantique) des cordes en space-temps courbe.
Il s'agit de décrire, résoudre, intérpreter les quantités d'interêt physique: spectre de masses, amplitudes de diffusion, tenseur énergie impulsion de la corde, équation d'état des cordes derivée de la dynamique, dans les espace-temps d'interêt physique: champs gravitationnels forts, trous noirs, l'univers primordial et phénomènes quantiques de la gravitation.

Quand nous avons lancé ce sujet, la théorie des cordes était "à la mode", mais (paradoxalement), ce domaine là de la théorie des cordes ne l'était pas. (Ce domaine est pourtant tout à fait fondamental pour les problèmes qu'une telle théorie se propose de résoudre).
Il deviendra "à la mode" par la suite, ce qui ne change rien à l'intêret intrinsèque du sujet ni à la valeur intrinsèque de cette approche.

A l'epoque, beaucoup des théoriciens travaillant sur la théorie des cordes ne travaillaient pas sur ces problèmes, ou le faisaient d'un point de vue de physique des particules élémentaires: c'est à dire en space temps plat avec la gravitation representée par une particule de masse nulle de spin deux (le graviton), ce qui ne s'applique pas aux regimes des champs gravitationels forts d'intéret physique comme ceux des trous noirs et de l'univers primordial, ou ils étudiaient le sujet d'un point de vue purement
mathématique. Notre approche a été reprise par des groupes actifs dans le domaine, et il est aujourd'hui un domaine établi. Une Ecole Internationale lui est dédiée, (avec des cours annuels, ateliers). Un Réseau de Recherche Européen lui a été dédié ("String Gravity and Physics at the Planck scale").

Il s'agit d' un domaine nouveau, d'une ligne de recherche nouvelle, originale et indépendante, et d'un travail pionnier, lancé et devéloppé de façon indépendante et compétitive, et inséré dans une compétition internationale sans pitié.

Il s'agit d'un travail pionnier, et reconnu internationalement comme tel, car il s'agissait bien d'étudier et de résoudre la dynamique des cordes (propagation classique et quantique) dans les backgrounds d'intérêt physique, et non seulement, de résoudre les équations pour les fonds (équations du groupe de renormalization de la théorie des champs effective de basse energie, connues comme équations de la fonction beta equal à zero)).

Il s'agissait bien de pénétrer et de décrire les effets physiques de la dynamique des cordes en espace temps courbes (y compris les fonds conformes et les espaces cosets en liaison avec la gravité et la cosmologie).

Evidemment, il y a plusieurs aspects à étudier dans la théorie des cordes et différentes lignes de recherche à dévèlopper. Nous privilégions les aspects physiques et dynamiques, le lien avec la gravitation et la cosmologie.

La dynamique des cordes en espace temps courbes n'était pas connue. Avant même de connaître la théorie au niveau quantique, il fallait résoudre et pénétrer la dynamique classique (hautement non linéaire) de la propagation des cordes en espace temps courbes. Nous avons résolu ces problèmes. Ensuite, nous avons résolu la dynamique au niveau quantique. Il a fallu donc devélopper des nouvelles méthodes de résolution des systèmes non linéaires, trouver et interprèter des nouvelles solutions, comprendre les effets physiques nouveaux que nous avons trouvé, les spectres de masses nouveaux, les amplitudes de diffusion.Nous avons publié dans ce domaine (période 1987-2000) 76 articles dans des revues internationales avec referee. La très grande majorité de nos articles dans ce domaine sont publiés dans Physical Review D et Nuclear Physics B. Il s'agit des articles avec une substance, résultats, travail et un effort en mathématiques et en physique trés sophistiqués. Nous avons inspiré des recherches à d'autres auteurs, dirigé des recherches, suscité et dévéloppé des collaborations fructueuses et nombreuses, ici en France et à l'étranger, notamment en Europe .
Les résultats de cette entreprise et les collaborations et recherches que nous avons dévéloppés et menés à bien sont réunis dans le Livre:
"String Theory in Curved Space Times", N. Sanchez , Editor, World Sc. (Avril 1998). Il s'agit d'un livre sur notre travail original dans ce domaine. (outre des livres que nous avons édités comme Actes des Ecoles Internationales et des Colloques).



Dans le contexte de la théorie des cordes comme théorie consistante de la gravitation quantique, il est nécessaire d' étudier les problèmes de l'état final de l'évaporation des trous noirs, et ceux d'une description consistante de l'univers primordial.
Ces problèmes sont associés aux régimes de la physique de l'énergie de Planck et leur descriptions semiclassiques.
Nous étudions, pour commencer, la théorie des cordes en espace temps courbes.

Evidemment, il serait encore mieux de pouvoir disposer d'une théorie quantique complète, à la fois pour la géométrie (espace-temps) ou le concept qui le remplace, et la matière. Cependant, donner une formulation de la théorie des cordes sans faire l'usage dès le début du concept d'espace-temps, et en extraire des effets et resultats physiques explicites (pas seulement à un niveau formel) est un problème ouvert.

Pour étudier les phénomènes quantiques de la gravitation, tels l'évaporation des trous noirs et ses conséquences, les colissions des particules (et des cordes) à des énergies de l'ordre de l'énergie de Planck, et l'univers primordial, des descriptions semiclassiques sont nécessaires et utiles (c'est à dire: théorie des champs (particules ponctuelles) en espace-temps courbes, équations effectives issues d'une théorie des champs ou des cordes, théorie des cordes en espace-temps courbes, approximation semiclassique de l'intégrale fonctionnelle....), afin d'en extraire de réponses concrètes, et d' aller au delà des descriptions formelles.

La théorie des champs en espace temps courbes à été un outil puissant et une étape importante pour explorer et trouver des phénomènes nouveaux de la gravitation (tels l'émission de Hawking, l'inflation de l'univers, la création et le spectre des gravitons dans l'univers primordiale, et ses conséquences observationnelles....). Mais, cela correspond à un schéma et à une description limités, celle d'une théorie des particules ponctuelles ne permettant pas l'unification quantique consistante avec la gravité.

La théorie des cordes permet une unification quantique consistante avec la gravité.
La théorie des cordes en espace-temps courbes est le meilleur schéma à l'heure actuelle pour étudier la physique de la gravitation dans le contexte de la théorie des cordes, (comme a été à son tour, dans les années 1970-80, la théorie des champs en espace temps courbes dans le contexte des théories de particulles ponctuelles).

En plus de leur rôle évident en gravitation classique, les espace-temps courbes sont importants au niveau des énergies de l'ordre de l'échelle de Planck. A de telles
énergies, l'interaction gravitationnelle entre les particules élémentaires ne peut plus être négligée.

L'espace temps de Minkowski (espace temps plat) est juste un cas très particulier, et trivial, d'espace temps courbe.

Mais, considérer la théorie des cordes en espace temps plat, ne donne pas d'information importante pour la gravitation et la cosmologie.

Considérer seulement des perturbations autour de l'espace temps plat (problème difficile en soi) ne donne pas mieux; cela n'apporte pas d'information pertinente sur les problèmes les plus intéressants dans ce contexte (singularités de l'espace temps, inflation, trous noirs, ondes de choc, ou ondes planes singulières, champs gravitationnels forts).

Il faut donc traiter l'espace temps de fond exactement, ou sinon, au moins, dans le regime des champs forts. Ceci est un sujet très difficile, aussi bien au niveau mathématique que physique.

La physique des cordes dans des espace temps cosmologiques est un problème trés important. C'est une question de base pour résoudre la cosmologie primordiale à l'échelle de l'énergie de Planck et au-delà.
Des espace-temps cosmologiques importants, (comme l'espace de de Sitter), possèdent des fonctions Beta du groupe de renormalization différentes de zéro, et donc, ils ne sont pas des vides conformes pour la théorie des cordes.
D'un point de vue physique, un tel constat est parfaitement raisonnable étant donné que les univers cosmologiques ont une grande densité de matière, et ne sont donc pas des espaces vides dans aucun cas.
En fait , ceci est le problème d'une théorie avec contraintes et avec des anomalies quantiques. La quantification de telles théories est un problème non trivial et ouvert.

Nous avons commencé le calcul des anomalies de l'algébre conforme dans le cas des univers cosmologiques (dans une approche canonique covariante), ainsi que de l'algébre des générateurs quantiques conformes (programme en cours).
L'identification d'une telle nouvelle structure algébrique pourrait être d'une grande valeur pour la quantification des cordes dans des espaces cosmologiques.
Ceci, en outre de l'approche des modèles conformes et cosets du type WZWN (Wess-Zumino-Witten-Novikov), qui impliquent la présence d'une torsion, et que nous avons étudié et continuerons à étudier davantage.


La théorie des cordes en espace-temps courbe est décrite par un système des équations non linéaires appartenant à une classe dite modèles sigma non-linéaire à D composants (D étant la dimension de l'espace temps) avec une métrique Gmn (s,t), (1< m,n < D), en deux dimensions ( (s,t) étant la surface d'univers de la corde).

La limite de basse énergie de la théorie des cordes se réduit à une théorie des champs effective du type Brans-Dicke, donnant lieu à des équations effectives des champs pour les fonds (champs de masse nulle) dans lesquels se propagent les cordes.
En outre, ces équations effectives des champs coïncident avec celles déterminées par la condition d'invariance conforme quantique de la théorie (équations Beta=0 du modèle sigma non-linéaire).

L'invariance conforme au niveau quantique (anomalie conforme nulle) est une condition nécessaire de consistence quantique (unitarité, absence des "fantômes", dimension critique de l'espace temps), et donne aussi des équations sur les fonds de la théorie (graviton, dilaton (scalaire) et tenseur antisymétrique) dans lesquels les cordes se propagent.
Ces équations coincident avec les équations d'Einstein du vide (modulo string corrections) , (ou des équations du type Brans- Dicke, en présence du dilaton et du tenseur antisymétrique).

Il s'agit bien des équations du vide (absence de matière ou de constante cosmologique), décrivant seulement l'état fondamental de la théorie.
Ainsi, les solutions des équations effectives de basse énergie de la théorie de cordes sont des fonds et espace-temps courbes invariants conformes, candidats aux états du vide de la théorie.

L'espace plat de Minkowski est juste un cas très particulier de ces espace temps courbes.

Les espace temps et fonds courbes d'intérêt physique et cosmologique ne sont pas tous des solutions du vide, et donc ils ne sont pas tous des candidats des états de vides (fonds conformes) de la théorie des cordes.

Cependant, ces fonds et espace temps peuvent décrire des états excités de la théorie. Ils peuvent aussi jouer le rôle des fonds effectifs comme ceux dus à la présence et interaction d'un grand nombre de cordes, et décrire ainsi le probléme d'une corde se propageant dans l' espace temps de fond créé par toutes les autres. Des exemples de ce type de fond sont les métrique des ondes de choc gravitationnelles, crées par des sources ultrarelativistes et décrivant des processus des collisions à très hautes énergies (de l'ordre de l'énergie de Planck). Ici, à nouveau, on ne peut pas considérer ces métriques comme des fonds conformes, candidats au vide de la théorie des cordes; cependant, ces métriques sont extrêmement importantes en donnant une description appropriée, sinon exacte, des processus de collisions de haute énergie.
Le prix à payer pour simplifier le vrai problème à plusieurs corps en celui d'une seule corde se propageant dans une métrique effective extérieure non invariante conforme crée par toutes les autres, serait une trés faible violation (d'ordre O(h2)) de l'unitarité. Les conclusions physiques importantes conservent cependant toute leur validité, spécialement dans l'approximation semi-classique, due au fait que l'anomalie conforme est un effet d'ordre O(h2)).

De plus, les espaces temps courbes avec matière donnent des descriptions effectives (classiques ou semiclassiques), même quand l'effet de réaction de la matière sur la géométrie est pris en compte (effet de "back reaction").
Ces espace-temps de fond non invariantes conformes sont des solutions autoconsistantes des équations de basse énèrgie de la théorie des cordes avec sources. C'est à dire, en incluant comme source le tenseur-énergie des cordes dans le membre de droite des équations d'Einstein ou des équations d'Einstein généralisées, (ce membre de droite étant zero dans le cas du vide).
Il s'agit donc de résoudre un problème couplé autocohérent (résoudre les équations de mouvement des sources et des espaces temps générés par ces sources). Autrement dit, il s'agit de résoudre les équations de mouvement des cordes dans les espaces temps courbes et d'obtenir les espace-temps génerés par ces cordes (problème couplé autoconsistant).
Les cordes se propagent de façon consistante dans les espace-temps générés par elles-mêmes. Des exemples remarquables de ce type des fonds sont fournis par les solutions classiques autoconsistantes ayant un gaz de cordes comme source.

Nous avons étudié la propagation classique et quantique des cordes dans un nombre très large de fonds et espace-temps: vides et non vides (c'est-à-dire conformes et non conformes), tous ayant un interêt physique intrinsèque pour la gravitation, la cosmologie et pour la théorie des cordes.

Parmi les fonds invariant conformes d'intéret physique et cosmologique dans les quels nous avons étudié la dynamique classique et quantique des cordes, nous avons consideré:

-les trous noirs, et espace temps accélerés

-les cordes cosmiques (espace-temps conique et orbifolds), des ondes planes gravitationnelles, et leurs singularités respectives.

-les espaces des modèles du type WZWN (Wess-Zumino-Witten-Novikov) et cosets:
2- dim. stringy Black Hole, 2+1 Black Hole-AntideSitter avec torsion, son transformé sous dualité ("the black string"), et 2+1 AntideSitter avec torsion, (variété de groupe (SL (2, R))

Parmi les fonds non invariants conformes dans lesquels nous avons étudié la dynamique classique et quantique des cordes, nous avons considéré:
-De Sitter (constante cosmologique positive), et espace-temps inflationnaires-Anti deSitter (constante cosmologique negative)

-ondes de choc gravitationnelles (métrique d'Aichelburg-Sexl et espace-temps générés par des particules ultrarelativistes décrivant les collisions à des énergies de Planck).

-les solutions auto-consistantes générées par les cordes elles-mêmes: cosmologiques de type standard (Friedman Robertson Walker), et de type inflationnaires, d'intérêt physique.

Nos resultats sont décrits dans le chapitre suivant


Développement des méthodes analytiques (exactes, approximatives ou asymptotiques), pour résoudre la dynamique non linéaire des cordes (fondamentales et cosmiques) en space temps courbes.

Généralisation des méthodes de la théorie des solitons en théorie des cordes en cosmologie.

Nouveaux effets physiques trouvés et étudiés pour la théorie des cordes, notamment:

1) L'instabilité des cordes en cosmologie inflationaire et au voisinage des singularités des trous noirs, et description de ce regime.

2) La transmutation des particules dans la diffusion des cordes par un trou noir, ou par des ondes de choc gravitationnelles; par example, si l' état initial de la corde décrit un photon, l'état final, aprés interaction avec le trou noir peut décrire un graviton. Une varieté d'autres transitions sont possibles décrivant la transmutation des bosons en bosons, mais aussi des bosons en fermions et viceversa. Des règles de sélection ont été trouvées. Ces effets de transmutation des particules se produissent aussi pendant l'évolution d'une corde au fur et à mesure de l'expansion de l'Univers.

3) L'absence de temperature critique des cordes (temperature de Hagedorn) en présence d'une constant cosmologique. Par conséquent, la fonction de partition des cordes avec constante cosmologique existe pour toute valeur de temperature.

4) L'effet de structure fine (séparation des niveaux por une même valeur de la masse) dans le spectre de masses des cordes en presence d'une constante cosmologique. De plus, la séparation des niveaux n'est pas constante, mais augmente en fonction de l'excitation des niveaux.

5) L'effet des Multicordes: multiplicité (décrivant un nombre fini ou infini) de cordes différentes en présence d'une constante cosmologique. Les cordes apparaissent et évoluent dans des "paquets des cordes" dont le nombre, la configuration et la distribution sont bien précis, et déterminés totalement par la dynamique des cordes dans l'espace-temps cosmologique.

De Nouvelles classes de solutions exactes des multicordes ont été aussi trouvées et étudiées en présence de courbure spatiale (Univers avec sections spatiales non plates, ouvert ou fermé)

6) L'évolution des cordes en espace-temps courbes suit trois régimes différents:
(i) "instable", avec une équation d'état des cordes (celle ci-a été derivée à partir de la dynamique) correspondant à une pression négative;
(ii) "dual", avec une pression positive (comme la radiation), et
(iii) "stable", avec pression nulle, comme la matière froide.
Ref. 68

7) Ces résultats, ont permis de démontrer, par exemple que les cordes génèrent l'expansion de l'univers inflationnaire, suivie de l'étape dominée par la radiation, suivie de l'étape actuelle (dominée par la matière) ; résultat qui démontre, en plus, que les cordes ne sont pas de la "matière exotique", et qu'elles genèrent bien l'evolution de l'univers.

8) La propagation et la chute des cordes dans les differentes singularités de l'espace-temps: (i) ondes de choc, ou ondes gravitationnelles (ii) singularite r=0 des trous noirs (iii) singularité initiale cosmologique, a été etudiée et classifiée, les grandeurs physiques de la corde, taille et équation d'etat des cordes étudiées.

9) L'effet de coupure spontanée d'une corde libre (sans aucune interaction), même classique (non quantique), et même en espace-temps plat. Cet effet est très amplifié pour une corde en champ gravitationnel fort, et au voisinage d'une singularité .

10) Classification des multicordes et nouvelles solutions multicordes en espace-temps des trous noirs avec et sans constante cosmologique, décrivant l'évolution et diffusion d'un nombre fini ou infini des cordes (à l' horizon, à l'extérieur et à l'intérieur des trous noirs).

11) La dynamique des cordes en présence de constante cosmologique contient trois secteurs différents décrits par des équations de type sinh-Gordon, cosh-Gordon et Liouville (cette dernière interpolant entre les deux autres).
Les propriétés génériques de la dynamique des cordes sont extraites directement des potentiels (hamiltoniens) associés à ces équations (parametrisées par la taille des cordes). Des transformations (dualités et autres) rèlient les régimes asymptotiques (grandes et petites tailles des cordes, grands et petits rayons de l'univers, cordes en expansion et en contraction-vers une taille minimale ou collapse-).

12) Nous avons résolu et comparé la dynamique des cordes dans des modèles conformes avec constante cosmologique (modèles cosets conformes WZWN de Sitter ou Anti de Sitter) et non conformes (espaces ordinaires de de Sitter ou Anti de Sitter)

Nos résultats montrent les conclusions suivantes :

L'invariance conforme simplifie les mathématiques du problème, la physique reste pour l'essentiel la même. Les differences pour les fonds conformes et non conformes apparaissent seulement dans la partie intermédiaire du spectre de masses des cordes, mais ces différences sont trés mineures.
La partie inférieure (masses petites) et la partie supérieure (masses trés grandes) des spectres des cordes dans des fonds conformes et non conformes sont idéntiques.Ref 83

Un point tout aussi intéressant est que l'invariance conforme fixe (non seulement la dimension de l'espace temps), mais aussi la valeur de la courbure de l'espace-temps égale à un nombre précis fois la longueur de Planck ("courbure critique").

Nous avons étudié la dynamique exacte des cordes dans ces modèles cosets, et montré que elle se réduit à l équation de Liouville pour la longueur propre des cordes: les secteurs Sinh Gordon et Cosh Gordon présents dans le cas non conforme collapsent dans un seul secteur: Liouville (avec deux signes differents pour le potentiel). Seulement les cordes classiques de grande longueur prope sont affectées par la torsion. Les tailles petites et moyens demeurent unchangées.
L'effect de la torsion sur la propagation des cordes est similaire à celui de la rotation dans la métrique.

L'ensemble de ces travaux a un grand intérêt aussi bien pour la connaissance fondamentale et conceptuelle que pour la recherche des vérifications de la théorie des cordes par des expériences et des observations.

-Il s'agit d'une recherche Interdisciplinaire et de frontière à l'interface entre physique fondamentale et cosmologie.

Mes recherches et resultats concernent et ont un impact sur divers projets experimentaux futurs et/ou en cours, par example: PLANCK, AUGER, EUSO, LIGO, LISA et autres.

Mes résultats sur la cosmologie des cordes, l'inflation,et fond de gravitons primordial permettront des tests observationnels de la théorie des cordes soit par les observations des anisotropies et polarisation du fond cosmologique de radiation de microondes par le satellite PLANCK ou autres expériences, que par les détecteurs des ondes gravitationnelles comme LIGO, LISA

Mes résultats sur l'évaporation des trois noirs permettront des tests observationnels de la théorie des cordes par les détecteurs du projet AUGER et surtout par l'observatoire spatial EUSO (Extreme Universe Space Observatory) pour l'observation des rayons cosmiques de trés haute énergie.


Les résultats de nos recherches sont pertinents pour les cordes fondamentales quantiques et pour les cordes cosmiques, qui se comportent essentiellement de façon classique.

Les équations effectives de basse énergie de la théorie des cordes fournissent seulement des espace-temps courbes de vide invariants conformes (modulo string corrections); mais ils ne sont pas tous très intéressants pour la gravitation et la cosmologie.
La plupart des espace-temps d'intérêt physique en rélativité générale et ses généralisations ne sont pas invariants conformes pour la théorie des cordes.

D'autre part, des varietés de groupes et des espaces dites cosets du type WZWN fournissent une grande classe d' espace-temps nouveaux invariants conformes. Ces modèles sont des solutions exactes (à tous ordres en boucles de cordes), et ils peuvent être résolus exactement au niveau quantique en appliquant les techniques des modèles conformes.
Cependant, généralement, ils ne sont pas tous trés intéressants du point de vue physique pour la gravitation et la cosmologie.
De plus, un grand nombre des modèles WZWN de ce type a été traité dans la literature, mais, surtout dans des aspects mathèmatiques, ou dans un contexte différent de la cosmologie. Les aspects physiques pertinents de ces modèles en cosmologie restent à résoudre, à décrire, ou à extraire.

Nous avons considéré un grand nombre d'espace-temps courbes (conformes et non conformes), tous d'intérêt physique pour la théorie des cordes en gravitation et cosmologie.

Pour la théorie des cordes en espaces temps conformes, nos resultats
principaux sont les suivants:
-l'effet de transmutation des particules
-la chute des cordes dans les singularités de l'espace temps
-tous nos résultats pour les cordes dans l' espace temps des trous noirs,
et dans les espaces cosets WZWN,
-les amplitudes de diffusion, et spectre de masses des cordes: inchangés ou modifiés par rapport à l'espace temps plat.

Pour la théorie des cordes en espaces temps non conformes, nos principaux resultats sont les suivants:
-l'effet des multicordes et sa classification
-les modifications aux spectres de masses des cordes par rapport à l'espace temps plat, et ses conséquences sur la fonction de partition et la témperature critique des cordes
-la classification de la dynamique générique des cordes et l'équation d'état des cordes (instable, dual et stable) dans les espaces temps cosmologiques d'intérêt physique.

Nous avons comparé la théorie des cordes dans les espaces temps conformes et non conformes, avec les conclusions suivantes:

Les résultats les plus spectaculaires pour la théorie des cordes en espace-temps courbes sont ceux en présence de constante cosmologique non nulle, c'est à dire dans des espace-temps de deSitter et de antideSitter, et plus généralement des espace-temps avec courbure constante, ou asymptotiquement deSitter ou AntideSitter. Ces espace temps ne sont pas invariant conformes.

Des versions invariants conformes de ces espaces temps sont réalisées par les modèles WZWN , par example SL(2, R) ou plus généralement des espaces cosets.
Ces modéles incluent une métrique et un tenseur antisymmétrique non nul, c'est à dire courbure et torsion non nulles.Nous avons étudié la théorie des cordes dans ces espaces conformes.

Nous avons comparé la théorie des cordes dans les modèles conformes avec constante cosmologique (modèles cosets conformes WZWN de Sitter ou Anti de Sitter), et non conformes (espaces ordinaires de de Sitter ou Anti de Sitter)
Nos résultats à ce sujet montrent les conclusions suivantes:

L'invariance conforme simplifie les mathématiques du problème, la physique reste pour l'essentiel la même.
Les différences pour les fonds conformes et non conformes apparaissent seulement dans la partie intermédiaire du spectre de masses des cordes, mais ces differences sont très mineures.
La partie inférieure (masses petites) et la partie supérieure (masses trés grandes) des spectres des cordes dans des fonds conformes et non conformes sont idèntiques.

A la fin, on voit que le rôle de l'invariance conforme dans ce problème permet de "compléter des carrés", par exemple, la fréquence des oscillateurs dans le cas non conforme est wn2 = (n2 + m2 a'H2) , tandis que dans le cas conforme est wn2 = (n+ ma'H)2 . ( Ici: n = 0, 1, 2, .....; m = masse des cordes; a' = tension des cordes, H = constant de Hubble). La propiété de "compléter des carrés" (dans des magnitudes et résultats différents) apparaît dans tous les aspects et résultats de la dynamique (à niveau classique et quantique) du problème.

Un point tout aussi intéressant est que l'invariance conforme fixe (non seulement la dimension de l'espace temps), mais aussi la valeur de la courbure de l'espace-temps égale à un nombre précis fois la longueur de Planck. ("courbure critique").

La dynamique exacte des cordes dans ces modèles cosets, se réduit à l équation de Liouville pour la longueur propre des cordes. Seulement les cordes classiques de grande longueur prope sont affectées par la torsion. Les tailles petites et moyens demeurent unchangées. L'effect de la torsion sur la propagation des cordes est similaire à celui de la rotation dans la métrique.

Nous sommes des pionniers et des bâtisseurs d'une approche de la théorie des cordes dans le contexte de la gravitation et la cosmologie.

Notre motivation essentielle est la physique théorique fondamentale et de frontière en liaison avec des problèmes physiques réels émergents dans l'étude de l'univers primordial.

Le programme dévéloppé est une étape fondamentale pour étudier la physique de la théorie des cordes et ses conséquences, en gravitation et cosmologie. C'est un programme conçu et planifié dès le début comme un travail de longue portée.Le travail accompli est un chapître important qui a apporté des réponses concrètes à des problèmes importants. Il a donné plusieurs clés et ouvert plusiers voies dans le domaine.
Ce que nous avons trouvé comme résultats dans ce programme est dejà très important, impressionant et passionnant. Nous espérons trouver encore d'avantage.

Quelques References
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(avec H.J. de Vega)
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" Quantum Coherent String States in Anti-de Sitter and SL(2,R) WZWN Model "
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" New Dual Relations Between Quantum Field Theory and String Regimes in Curved Backgrounds "
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"String Theory, Quantum Gravity and Strings II"
(co-éditeur avec H.J. de Vega)
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"The Paris-Meudon Colloquium. String Theory - Quantum Cosmology and Quantum Gravity - Integrable and Conformal invariant theories"
(co-éditeur avec H.J. de Vega)
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"String Theory in Curved Space Times " A Research Network Report, World Scientific Publ. Co., Singapore (1998)